MECÂNICA GENERALIZADA GRACELI - QUÂNTICA QUÍMICA RELATIVISTA DIMENSIONAL [325]

G* = $\psi ^{*}$ = OPERADOR QUÂNTICO DE GRACELI.

EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$\psi ^{*}$ $\psi$ $/ T] / c} =$

$\psi ^{*}$ Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ $G* =$ $\psi ^{*}$

$COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..$

$\lambda ={\frac {h}{p}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

/ $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Chama-se acoplamento vibrónico ou acoplamento electrão-fonão à interação entre estados electrónicos e estados vibratórios (ou fonões). Também é chamado efeito pseudo-Jahn-Teller, pela sua relação conceptual com o conhecido efeito Jahn-Teller.^[1]^[2]

Este acoplamento tem consequências perceptíveis nas propriedades ópticas, magnéticas e de localização-deslocalização electrónica na molécula. Opticamente, a banda de intervalência que apresentam os compostos de valência mista torna-se mais complexa e adquire uma estrutura pelo acoplamento vibrónico.^[3] Também o acoplamento magnético é afectado, se existem electrões desemparelhados no sistema. Dependendo do tipo de acoplamento vibrónico que predomine, a deslocalização electrónica pode ser intensificada o diminuída^[4]

Definição

O acoplamento vibrônico descreve a mistura de estados electrónicos diferentes como um resultado de pequenas vibrações.

$\mathbf {f} _{k'k}\equiv \langle \,\chi _{k'}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} )\,|\,{\hat {\nabla }}_{\mathbf {R} }\chi _{k}(\mathbf {r} ;\mathbf {R} )\rangle _{(\mathbf {r} )}$ / $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$
$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Orbital atômico ^{(português brasileiro)} ou orbital atómica ^{(português europeu)} de um átomo é a denominação dos estados estacionários da função de onda de um elétron (funções próprias do hamiltoniano (H) na equação de Schrödinger $H\psi =E\psi$ , em que $\psi$ é a função de onda).^[1] Entretanto, os orbitais não representam a posição exata do elétron no espaço, que não pode ser determinada devido à sua natureza ondulatória; apenas delimitam uma região do espaço na qual a probabilidade de encontrar o elétron é mais alta.^[2]

Números quânticos

O valor do número quântico $n$ (número quântico principal ou primário, que apresenta os valores $1,~2,~3,~4,~5,~6~ou~7$ [também representado por $K,~L,~M,~N,~O,~P~e~Q$ ]) define o tamanho do orbital. Quanto maior o número, maior o volume do orbital. Também é o número quântico que tem a maior influência na energia do orbital.
O valor do número quântico $l$ (número quântico secundário ou azimutal, que apresenta os valores $0,~1,~2,~...,~n-1$ ) indica a forma do orbital e o seu momento angular. O momento angular é determinado pela equação:

|L|=\hbar \cdot {\sqrt {l(l+1)}}

/ $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

A notação científica (procedente da espectroscopia) é a seguinte:

$l=0$ , orbitais $s$
$l=1$ , orbitais $p$
$l=2$ , orbitais $d$
$l=3$ , orbitais $f$

Para os demais orbitais segue-se a ordem alfabética.

O valor do $ml$ (número quântico terciário ou magnético, que pode assumir os valores $-l~...~0~...~+l$ ) define a orientação espacial do orbital diante de um campo magnético externo. Para a projeção do momento angular diante de um campo externo, verifica-se através da equação:

L_{z}=\hbar \cdot m

/ $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

O valor de $ms$ (número quântico magnético de spin ou spin) pode ser $+1/2~ou~-1/2$ . O valor de $s$ que equivale a uma valor fixo $1/2$ .

Pode-se decompor a função de onda empregando-se o sistema de coordenadas esféricas da seguinte forma:

\psi _{n,~l,~ml}=R_{n,~l}(r)~\Theta _{l,~m_{l}}~(\theta )~\Phi _{m_{l}}(\varphi )

/ $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Onde

$R_{n,~l}~(~r)$
$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =
representa a distância do elétron até o núcleo, e
$\Theta _{l,~m_{l}}~(\theta )~\Phi _{m_{l}}(\varphi )$
$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =
a geometria do orbital.

Para a representação do orbital emprega-se a função quadrada, $\left|\Theta _{l,~m_{l}}~(\theta )\right|^{2}$ $\left|~\Phi _{m_{l}}(\varphi )\right|^{2}$ , já que esta é proporcional à densidade de carga e, portanto, a densidade de probabilidade, isto é, o volume que encerra a maior parte da probabilidade de encontrar o elétron ou, se preferir, o volume ou a região do espaço na qual o elétron passa a maior parte do tempo.

Fotocatálise

Pontos quânticos também funcionam como fotocatalisadores para conversão química da água em hidrogênio catalisada pela luz, um caminho para um combustível solar. Na fotocatálise, o par elétron-lacuna é formado, catalisando reações de redução no líquido nos arredores. Geralmente, a atividade fotocatalítica dos pontos quânticos é relacionada ao tamanho da partícula e seu grau de confinamento quântico.^[66] Isto por que a largura da banda proibida determina a energia química que é armazenada no ponto quântico no estado excitado. Um obstáculo para o uso de pontos quânticos em fotocatálise é a presença de surfactantes em sua superfície. Estes surfactantes (ou ligantes) interferem na reatividade química dos pontos pela redução dos processos de transferência de massa e de elétrons. Além disso, pontos quânticos feitos de calcogenetos metálicos são quimicamente instáveis sob condições oxidantes e sofrem reações de fotocorrosão.

Teoria

Pontos quânticos são descritos teoricamente como entidades pontuais ou zero-dimensionais. A maioria de suas propriedades depende de seu tamanho, forma e composição.^[67] Geralmente, pontos quânticos apresentam propriedades termodinâmicas diferentes dos materiais macroscópicos. Um desses efeitos é a diminuição do ponto de fusão.^[^{carece de fontes]}

Confinamento quântico em semicondutores

Em um nanocristal de semicondutor cujo raio é menor que o raio de Bohr do composto, os éxcitons são confinados, levando ao efeito de confinamento quântico. Os níveis de energia podem ser previstos usando o modelo da partícula em uma caixa, no qual os estados de energia dependem do comprimento da caixa. Comparando o tamanho dos pontos quânticos ao raio de Bohr das funções de onda do elétron e da lacuna, três regimes podem ser definidos. Um regime de confinamento forte é definido como pontos quânticos com raio menor que o raio de Bohr do elétron e da lacuna, enquanto que o confinamento fraco é dado quando o ponto quântico é maior que ambos. Para semicondutores nos quais o raio do elétron e da lacuna são marcadamente diferentes, ocorre um regime de confinamento intermediário, onde o raio do ponto quântico é maior que o raio de Bohr de um dos portadores de carga (tipicamente, da lacuna), mas não do outro portador de carga.^[68]

Energia de bandgap

A largura da banda proibida se torna maior no regime de confinamento forte, uma vez que os níveis de energia se dividem acima. O raio de Bohr do éxciton pode ser expresso como:

$a_{b}^{*}=\varepsilon _{2}\left({\frac {m}{\mu }}\right)a_{b}$ / $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Onde a_b é o raio de Bohr = 0.053 nm, m é a massa, $\mu$ é a massa reduzida e $\varepsilon _{r}$ é a constante dielétrica dependente do tamanho (permissividade relativa). Isto resulta num aumento na energia total de emissão (a soma dos níveis de energia nos bandgaps menores no regime de confinamento forte é maior que os níveis de energia no bandgap dos níveis originais no regime de confinamento fraco) e a emissão a vários comprimentos de onda. Se a distribuição de tamanhos dos pontos quânticos não é estreita o suficiente, a convolução de múltiplos comprimentos de onda de emissão é observado como um espectro contínuo.^[^{carece de fontes]}

Energia de confinamento

A entidade éxciton pode ser modelada usando a partícula na caixa. O elétron e a lacuna podem ser vistos como o hidrogênio no modelo de Bohr, com o núcleo do hidrogênio sendo substituídos pela lacuna de carga positiva e massa do elétron negativa. Então os níveis de energia do éxciton podem ser representados como a solução para a partícula na caixa no nível fundamental (n = 1), com a massa sendo substituída pela massa reduzida. Variando o tamanho do ponto quântico, a energia de confinamento do éxciton pode ser controlada.^[^{carece de fontes]}

Energia de ligação do éxciton

Há uma energia de atração eletrostática entre o elétron carregado negativamente e a lacuna carregada positivamente. A energia envolvida na atração é proporcional à energia de Rydberg e inversamente proporcional ao quadrado da constante dielétrica dependente do tamanho do semicondutor.^[69] Quando o tamanho do cristal semicondutor é menor que o raio de Bohr do éxciton, a interação Coulômbica precisa ser modificada para se adaptar à situação.

Portanto, a soma destas energias pode ser representada como:

$E_{confinamento}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2a^{2}}}\left({\frac {1}{m_{e}}}+{\frac {1}{m_{h}}}\right)={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2\mu a^{2}}}$ / $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$E_{exciton}=-{\frac {1}{\epsilon _{2}^{3}}}{\frac {\mu }{m_{e}}}R_{y}=-R_{y}^{*}$ / $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$E=E_{bandgap}+E_{confinamento}+E_{exciton}$ / $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$E=E_{bandgap}+{\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2\mu a^{2}}}-R_{y}^{*}$ / $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Onde $\mu$ é a massa reduzida, a é o raio, m_e é a massa do elétron livre, m_h é a massa da lacuna e ε_r é a constante dielétrica dependente do tamanho.

Apesar das equações acima terem sido derivadas usando premissas simplificadas, elas implicam que as transições eletrônicas dos pontos quânticos dependerão do seu tamanho. Estes efeitos de confinamento quântico são aparentes somente abaixo do tamanho crítico. Partículas grandes não exibem este efeito. Este efeito de confinamento quântico em pontos quânticos tem sido verificado experimentalmente repetidas vezes e é uma característica chave de muitas estruturas eletrônicas emergentes.^[70]

A interação eletrostática entre os portadores de carga confinados também pode ser estudada por meios numéricos quando resultados não restritos em aproximações assintóticas são buscados.^[71]

Modelos

Uma variedade de estruturas teóricas existem para modelar propriedades ópticas, eletrônicas e estruturais dos pontos quânticos. Estas podem ser amplamente divididas em mecânica quântica, semiclássica e clássica.^[^{carece de fontes]}

Mecânica quântica

Modelos e simulações de pontos quânticos baseados em mecânica quântica frequentemente envolvem a interação dos elétrons com uma matriz randômica ou pseudopotencial.^[72]

Semiclássica

Modelos semiclássicos de pontos quânticos frequentemente incorporam um potencial químico. Por exemplo, o potencial químico termodinâmico de um sistema de N partículas é dado por:

$\mu {\bigl (}N{\bigr )}=E{\bigl (}N{\bigr )}-E{\bigl (}N-1{\bigr )}$ / $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Cujos termos de energia podem ser obtidos como soluções da Equação de Schrödinger. A definição de capacitância:

${\frac {1}{C}}\equiv {\frac {\Delta V}{\Delta Q}}$ / $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Com a diferença de potencial:

$\Delta V={\frac {\Delta \mu }{e}}={\frac {\mu (N+\Delta N)-\mu (N)}{e}}$ / $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Pode ser aplicada para um ponto quântico com a adição ou remoção de elétrons individuais, $\Delta N=1$ e $\Delta Q=e$ .

Então:

$C(N)={\frac {e^{2}}{\mu (N+1)-\mu (N)}}={\frac {e^{2}}{I(N)-A(N)}}$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

É a capacitância quântica de um ponto quântico, onde I(N) foi denotado como o potencial de ionização e A(N) a afinidade eletrônica do sistema de N partículas.^[73]

Mecânica clássica

Modelos clássicos das propriedades eletrostáticas dos elétrons em pontos quânticos são similares em naturez ao problema de Thomson de distribuição ótima de elétrons em uma esfera.

O tratamento eletrostático clássico dos elétrons confinados a pontos quânticos esféricos é similar ao seu tratamento no modelo de Thomson^[74] do átomo.^[75]

O tratamento clássico para pontos quânticos bidimensionais e tridimensionais exibe comportamento de preenchimento dos níveis eletrônicos. Uma tabela periódica de átomos artificiais clássicos foi descrita para pontos quânticos bidimensionais.^[76] Também, muitas conexões foram reportadas entre o problema de Thomson tridimensional e os padrões de preenchimento dos níveis eletrônicos encontrados em átomos naturais na tabela periódica.^[77] Este último trabalho se originou no modelo clássico eletrostático de elétrons em um ponto quântico esférico representado por uma esfera dielétrica ideal.^[77]

Na mecânica quântica, o produto Hartree é uma função de onda do sistema (muitas partículas), dada como uma combinação de funções de onda das funções de onda de partículas individuais^[1]. É inerentemente campo médio (assume que as partículas são independentes) e é a versão assimétrica do ansatz determinante de Slater no método de Hartree-Fock^[2]. O produto Hartree é verdadeiramente uma função de onda do elétron independente^[3]

Para duas partículas,

\Psi (\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\chi _{1}(\mathbf {x} _{1})\chi _{2}(\mathbf {x} _{2}).

/ $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Isso não é satisfatório para férmions, como elétrons, porque a função de onda resultante não é antisimétrica^[4]^[5]. Uma função de onda antisimétrica pode ser descrita matematicamente usando o determinante de Slater.

O modelo spherium consiste de dois elétrons presos na superfície de uma esfera de raio $R$ . Ele tem sido usado por Berry e colaboradores^[1] para entender tantos sistemas fracamente e fortemente correlacionados e sugeri uma versão "alternativa" para a regra de Hund. Seidl estuda esse sistema no contexto da teoria do funcional da densidade (DFT) para desenvolver a nova funcionais correlaçõe dentro da conexão adiabática.^[2]

Definição e solução

O Hamiltoniano eletrônico em unidades atômicas, é

{\hat {H}}=-{\frac {\nabla _{1}^{2}}{2}}-{\frac {\nabla _{2}^{2}}{2}}+{\frac {1}{u}}

/ $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde $u$ é a distância intereletrônica. Para os estados singletos, pode ser mostrado^[3] que a função de onda satisfaz a equação de Schrödinger

\left({\frac {u^{2}}{4R^{2}}}-1\right){\frac {d^{2}S(u)}{du^{2}}}+\left({\frac {3u}{4R^{2}}}-{\frac {1}{u}}\right){\frac {dS(u)}{du}}+{\frac {1}{u}}S(u)=ES(u)

/ $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Introduzindo a variável adimensional $x=u/2R$ , isso se torna uma função de Heun com pontos singulares em $x=-1,0,+1$ . Com base nas conhecidas soluções de Heun, buscamos funções de onda da forma

S(u)=\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}\,u^{k}

/ $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

e substituição na equação anterior produz arelação de recorrência

s_{k+2}={\frac {s_{k+1}+\left[k(k+2){\frac {1}{4R^{2}}}-E\right]s_{k}}{(k+2)^{2}}}

/ $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

com os valores iniciais $s_{0}=s_{1}=1$ . Assim, a condição de cúspide Kato é

{\frac {S'(0)}{S(0)}}=1

/ $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

A função de onda reduz para o polinomial

S_{n,m}(u)=\sum _{k=0}^{n}s_{k}\,u^{k}

/ $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

(onde $m$ o número de raízes entre $0$ e $2R$ ) se, e somente se, $s_{n+1}=s_{n+2}=0$ . Assim, a energia $E_{n,m}$ é uma raiz da equação polinomial $s_{n+1}=0$ (onde $\deg s_{n+1}=\lfloor (n+1)/2\rfloor$ ) e o raio correspondente $R_{n,m}$ é encontrado a partir da equação anterior, o que gera

R_{n,m}^{2}E_{n,m}={\frac {n}{2}}\left({\frac {n}{2}}+1\right)

/ $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

$S_{n,m}(u)$ é a exata função de onda do $m$ -esimo estado excitado da simetria singleto S para o raio $R_{n,m}$ .

Sabemos que a partir do trabalho de Loos e Gill que a energia HF do menor estado singleto S $E_{\rm {HF}}=1/R$ . Segue-se que a exata correlação energia para $R={\sqrt {3}}/2$ é $E_{\rm {corr}}=1-2/{\sqrt {3}}\approx -0.1547$ que é muito maior do que a limitação da correlação das energias do íons como hélio ( $-0.0467$ ) ou os átomos de Hooke ( $-0.0497$ ). Isso confirma a visão de que a correlação de elétron na superfície de uma esfera é qualitativamente diferente do que em três dimensões de espaço físico.

Spherium em uma esfera tridimensional

Trabalhos recentes de Loos et al.^[4] considerado o caso de dois elétrons confinados em uma esfera tridimensional se repelindo coulombicalmente. Eles relatam um estado fundamental de energia de ( $-.0476$ ).

Em química, a teoria dos orbitais moleculares é um método para determinar estruturas moleculares nas quais elétrons não são atribuídos a ligações químicas individuais entre átomos, ao invés disto são tratados como movimentos sob a influência do núcleo molecular.^[1]

Nesta teoria, cada molécula possui um conjunto de orbitais moleculares, nos quais se assume que a função de onda de cada orbital ψ_f pode ser descrita como uma combinação linear dos n orbitais atômicos χ_i, de acordo com a equação:^[2]

\psi _{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}\chi _{i}

/ $\lambda ={\frac {h}{mv}}$ , $p={\frac {E}{c}}$ / ${\boldsymbol {\mu }}=-g_{s}\mu _{B}({\boldsymbol {s}}/\hbar )$ / $\Delta \mathrm {E} =hf=hc/\lambda$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Onde c_ij podem ser determinados pela substituição destas equações pela equação de Schrödinger e pela aplicação do princípio variacional. Este método é conhecido como combinação linear de orbitais atômicos e é bastante utilizado pela química computacional. Uma transformação adicional unitária pode ser aplicada ao sistema para acelerar a convergência em alguns esquemas computacionais.

A teoria dos orbitais moleculares foi visto como um competidor à ligação de valência na década de 1930, hoje foi percebido que os dois métodos são relacionados e que quando generalizados eles se tornam equivalentes.

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